DeepMind破解了困扰数学家数十年的“结”猜想

DeepMind破解了困扰数学家数十年的“结”猜想

在人工智能(AI)计划DeepMind已经变得更接近,证明数学猜想的困扰数学家了几十年,揭示了另一个新的猜想,可能解开数学家是如何理解结。

研究人员于 12 月 1 日在《自然》杂志上报告说,这两个纯数学猜想是人工智能产生的纯数学(或与任何非数学应用没有直接关联的数学)的首次重要进展。猜想是被怀疑为真实但尚未在所有情况下得到证明的数学思想。机器学习算法以前曾被用于生成数学中的此类理论思想,但到目前为止,这些算法解决的问题比 DeepMind 解决的问题小。

DeepMind 的机器学习专家、新论文的作者之一亚历克斯戴维斯说:“以前从未发生过的事情是使用 [机器学习] 在纯数学中做出重大的新发现。”

数学和机器学习

大部分纯数学都在注意数字中的模式,然后进行艰苦的数值工作来证明这些直觉预感是否代表了真实的关系。当处理多维的复杂方程时,这会变得非常复杂。

然而,“机器学习非常擅长的事情是发现模式,”戴维斯告诉 Live Science。

第一个挑战是让 DeepMind 走上一条有用的道路。Davies 和他在 DeepMind 的同事与悉尼大学的数学家 Geordie Williamson、牛津大学的 Marc Lackenby 和牛津大学的 András Juhász 合作,以确定 AI 可能有助于解决哪些问题。

他们专注于两个领域:结理论,这是对结的数学研究;和表示论,这是一个专注于抽象代数结构的领域,例如环和格子,并将这些抽象结构与线性代数方程或熟悉的 Xs、Ys、正负等方程联系起来,这些方程可能在高-学校数学课。

棘手的问题

在理解结时,数学家依赖于称为不变量的东西,它们是相同的代数、几何或数值量。在这种情况下,他们研究了等效结中相同的不变量;等价可以通过多种方式定义,但是如果您可以将一个结扭曲为另一个而不打破结,则可以认为结是等效的。几何不变量本质上是对结整体形状的测量,而代数不变量描述了结如何相互缠绕和缠绕。

“到目前为止,这两件事之间还没有经过证实的联系,”戴维斯说,指的是几何和代数不变量。但数学家认为这两者之间可能存在某种关系,因此研究人员决定使用 DeepMind 来寻找它。

在人工智能程序的帮助下,他们能够识别出一种新的几何测量,他们将其称为结的“自然斜率”。这种测量在数学上与称为签名的已知代数不变量有关,它描述了结上的某些表面。

研究人员在《自然》杂志上写道,新的猜想——这两种类型的不变量是相关的——将在结的数学中开辟新的理论。

在第二种情况下,DeepMind 采用了 1970 年代后期数学家提出的猜想,并帮助揭示了该猜想为何有效。

40 年来,数学家们一直在猜测,可以查看一种特定类型的非常复杂的多维图形,并找出一种特定类型的方程来表示它。但他们还没有完全弄清楚如何做到这一点。现在,DeepMind 通过将图的特定特征与这些方程的预测联系起来,这些方程被称为 Kazhdan-Lusztig (KL) 多项式,以首次提出它们的数学家命名。

“我们能够做的是训练一些机器学习模型,这些模型能够非常准确地从图中预测多项式是什么,”戴维斯说。该团队还分析了 DeepMind 用来做出这些预测的图的哪些特征,这使他们更接近关于两者如何相互映射的一般规则。这意味着 DeepMind 在解决这个被称为组合不变性猜想的猜想方面取得了重大进展。

这些纯数学猜想没有直接的实际应用,但数学家计划在新发现的基础上发现这些领域中的更多关系。研究团队还希望他们的成功将鼓励其他数学家将人工智能作为一种新工具。

“我们想要做的第一件事就是更多地进入数学社区,并希望鼓励人们使用这种技术并走出去寻找新的和令人兴奋的东西,”戴维斯说。

为您推荐